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DP介绍-二维苹果收集

问题引出

平面上有N*M个格子,每个格子中放着一定数量的苹果。你从左上角的格子开始,每一步只能向下走或是向右走,每次走到一个格子上就把格子里的苹果收集起来,这样下去,你最多能收集到多少个苹果。

分析

问题最红需要我们求出整个格子里最终能收集到多少苹果,这个问题直接求解是没有办法的。我们可以换个办法依次趋近这个问题的结果。

当前位置(x,y)能够获取的苹果数目最多是多少。

这个问题就比较好说了,因为到达当前位置的前置节点只有两个,也就是他的上方位置或左侧位置(先不讨论边界问题)。我们从格子的起点开始,每次获取当前位置上侧、左侧位置节点的苹果数目对比即可。

毫无疑问,现在这个已经被我们分解的多个子问题的问题集已经符合DP问题的基本条件:

  • 最优化原理(最优子结构性质)

  • 无后效性

  • 子问题的重叠性

s[length][length]记录每个格子包含的苹果数目,dp[length][length]记录到达当前节点最多获取的苹果数目,即子问题的状态。问题的状态转移方程:

dp[x][y] = max( if(x>0) dp[x-1][y] , if(y>0) dp[x][y-1])

实现

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#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[100][100];
int dp[100][100];
int m,n;

//递归版本
void dp_fun(int x,int y)
{
dp[x][y] = a[x][y];
int max = 0;
if(x > 0 && max < dp[x-1][y])
max = dp[x-1][y];
if(y > 0 && max < dp[x][y-1])
max = dp[x][y-1];
dp[x][y] += max;
if(x<m-1)
dp_fun(x+1,y);
if(y<n-1)
dp_fun(x,y+1);
return;
}

/*递推版本 调用dp_fun(m,n);
void dp_fun(int x,int y)
{
/*dp[0][0]=a[0][0];
for(int i=1;i<x;i++)
dp[i][0]=dp[i-1][0]+a[i][0];
for(int i=1;i<y;i++)
dp[0][i]=dp[0][i-1]+a[0][i];
for(int i=1;i<x;i++)
for(int j=1;j<y;j++){
int max_value=dp[i][j-1]>dp[i-1][j]?dp[i][j-1]:dp[i-1][j];
dp[i][j]=a[i][j]+max_value;
}*/
for(int i=1;i<x;i++)
a[i][0]=a[i-1][0]+a[i][0];
for(int i=1;i<y;i++)
a[0][i]=a[0][i-1]+a[0][i];
for(int i=1;i<x;i++)
for(int j=1;j<y;j++){
int max_value=a[i][j-1]>a[i-1][j]?a[i][j-1]:a[i-1][j];
a[i][j]+=max_value;
}
return;
}
*/

int main()
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
//m、n代表格子的数目,在本例中<=100
cin>>m>>n;
for(int i=0;i<m;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
cin>>a[i][j];
dp_fun(0,0);
for(int i=0;i<m;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
cout<<dp[i][j]<<"\t";
cout<<endl;
}
return 0;
}

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